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  • 硬科学资源-泰勒公式,泰勒级数和麦克劳林公式-硬科学论坛
  • 发布日期:2019-06-11

  ⑵取得本专业或相近专业大学专科学历,累计从事化工工程设计工作满1年。⑶取得其他工科专业大学本科及以上学历或学位,累计从事化工工程设计工作满1年。(二)参加注册化工工程师专业考试,应基础考试合格,并具备下列条件之一:⑴取得本专业博士学位后,累计从事化工工程设计工作满2年;或取得相近专业博士学位后,累计从事化工工程设计工作满3年。

  从魏源提出“师夷长技以制夷”,曾国藩、李鸿章、左宗棠等实施的“洋务运动”,到康有为、梁启超的“戊戌变法”运动再到孙中山领导的“辛亥革命”,开始了从“器物”到“制度”、从改良到革命的探索历程。但是历史证明,真正觉悟的先进分子是当时中国人口当中的极少数,广大人民群众依然沉睡于封建思想的迷雾之中,这些探索没能得到广大人民群众的广泛参与,最终都避免不了失败的命运。

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泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。 比如说,指数函数ex在x=0的附近可以用以下多项式来近似地表示:${\textrm{e}}^{x}\approx1+x+{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{3}}{3!}}+\cdots+{\frac{x^{n}}{n!}}.$称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。 这个公式只对0附近的x有用,x离0越远,这个公式就越不准确。 实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。 $R_{n}(x)={\textrm{e}}^{x}-\left(1+x+{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{3}}{3!}}+\cdots+{\frac{x^{n}}{n!}}\right).$3.泰勒定理对于一般的函数,泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。 这个想法的原由可以由微分的定义开始。

微分是函数在一点附近的最佳线性近似:$f(a+h)=f(a)+f^{{\prime}}(a)h+o(h),其中o(h)是比h高阶的无穷小。 $$也就是说f(a+h)\approxf(a)+f^{{\prime}}(a)h,或f(x)\approxf(a)+f^{{\prime}}(a)(x-a)。

$$注意到f(x)和f(a)+f^{{\prime}}(a)(x-a)在a处的零阶导数和一阶导数都相同。

\\对足够光滑的函数,$如果一个多项式在a处的前n次导数值都与函数在a处的前n次导数值重合,那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a附近的情况。 以下定理说明这是正确的:定理:设n是一个正整数。

如果定义在一个包含a的区间上的函数f在a点处n+1次可导,那么对于这个区间上的任意x,都有:$f(x)=f(a)+{\frac{f(a)}{1!}}(x-a)+{\frac{f^{{(2)}}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots+\\{\frac{f^{{(n)}}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x).[2]$$其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式,剩余的R_{n}(x)是泰勒公式的余项,是(x-a)^{n}$的高阶无穷小。

$R_{n}(x)$的表达形式有若干种,分别以不同的数学家命名。

带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度:$f(x)=f(a)+{\frac{f(a)}{1!}}(x-a)+{\frac{f^{{(2)}}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots+\\{\frac{f^{{(n)}}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o[(x-a)^{{n}}]$也就是说,当x无限趋近a时,余项$R_{n}(x)$将会是$(x-a)^{n}$的高阶无穷小,或者说多项式和函数的误差将远小于$(x-a)^{{n}}$这个结论可以由下面更强的结论推出。

带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广:$f(x)=f(a)+{\frac{f(a)}{1!}}(x-a)+{\frac{f^{{(2)}}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots+\\{\frac{f^{{(n)}}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac{f^{{(n+1)}}(\theta)}{(n+1)!}}(x-a)^{{(n+1)}}$$即R_{n}(x)={\frac{f^{{(n+1)}}(\theta)}{(n+1)!}}(x-a)^{{(n+1)}},其中\theta\in(a,x)[4]。 $$带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广[5]:$$R_{n}(x)=\int_{a}^{x}{\frac{f^{{(n+1)}}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,dt,$4.余项估计拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。 设函数在区间[ar,a+r]上n次连续可微并且在区间(ar,a+r)上n+1次可导。 如果存在正实数Mn使得区间(ar,a+r)里的任意x都有)$|f^{{(n+1)}}(x)|\leqM_{n}$那么:$f(x)=f(a)+{\frac{f(a)}{1!}}(x-a)+{\frac{f^{{(2)}}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots+\\{\frac{f^{{(n)}}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x),$$其中|R_{n}(x)|\leqM_{n}{\frac{r^{{n+1}}}{(n+1)!}}。

这个上界估计对区间(ar,a+r)里的任意x都成立,是一个一致估计。

$$如果当n趋向于无穷大时,还有M_{n}{\frac{r^{{n+1}}}{(n+1)!}}\rightarrow0,\\那么可以推出R_{n}(x)\rightarrow0,f是区间(ar,a+r)上解析函数。 \\f在区间(ar,a+r)上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。

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